Что такое элементарная матрица. Элементарные преобразования матрицы. Нахождение обратных матриц
Элементарн ыми преобразованиями строк матрицы называется преобразования следующих типов:
1) Умножение каждого элемента некоторой строки на одно и то же ненулевое число. Остальные строки остаются без изменения (кратко: умножение строки на число).
2) Прибавление к каждому элементу некоторой строки соответствующих элементов другой строки, умноженные на одно и то же число. Остальные строки (в том числе и прибавляемое) остаются без изменения (кратко: прибавление к строке другой, умноженной на число).
3) Перемена местами некоторых двух строк матрицы. Остальные строки остаются без изменения.
Эти преобразования называются соответственно преобразованиями первого , второго и третьеготипа (рода ). Последовательно применяя их, мы получаем более сложные преобразования.
Аналогично определяются элементарные преобразования столбцов матрицы.
Теорема
Преобразование третьего типа является некоторой комбинацией преобразований первого и второго типов .
Таким образом, преобразованием третьего типа можно отнести к более сложным, чем элементарные. Но его принято всё-же считать элементарным ради удобства.
Теорема
Любую матрицу элементарными преобразованиями строк можно привести к ступенчатой . Если к матрице применить элементарные преобразования строк и столбцов , то её можно привести к трапециедальному виду .
Например ,
á(1) Поменяли местами первую и вторую строки (преобразование третьего типа).
(2) Первую строку, умноженную на 2, прибавили ко второй и вычли из третьей, умноженную на 3, прибавили к четвёртой (преобразования второго типа).
(3) Вторую строку вычли из третьей и вторую строку, умноженную на 14/11 вычли из четвёртой.
(4) Поменяли местами третью и четвёртую строки.ñ
Таким образом, преобразовали исходную матрицу
в ступенчатую
Теперь, поменяв местами второй и третий столбец, а затем поменяв его же с четвёртым столбцом, перемещаем второй столбец на место четвёртого, третий и четвёртый столбцы окажутся соответственно на месте второго и третьего столбцов:
тем самым преобразовали исходную матрицу в трапециедальную.
Упражнения
Привести матрицу к ступенчатому и трапециедальному видам:
Матрица, виды матриц, действия над матрицами.
Виды матриц:
1. Прямоугольные : m и n - произвольные положительные целые числа
2. Квадратные : m=n
3. Матрица строка : m=1 . Например, (1 3 5 7) - во многих практических задачах такая матрица называется вектором
4. Матрица столбец : n=1 . Например
5. Диагональная матрица : m=n и a ij =0 , если i≠j . Например
6. Единичная матрица : m=n и
7. Нулевая матрица : a ij =0, i=1,2,...,m
j=1,2,...,n
8. Треугольная матрица : все элементы ниже главной диагонали равны 0.
9. Симметрическая матрица :m=n и a ij =a ji (т.е. на симметричных относительно главной диагонали местах стоят равные элементы), а следовательноA"=A
Например,
10. Кососимметрическая матрица : m=n и a ij =-a ji (т.е. на симметричных относительно главной диагонали местах стоят противоположные элементы). Следовательно, на главной диагонали стоят нули (т.к. при i=j имеем a ii =-a ii )
Действия над матрицами:
1. Сложение
2. Вычитание матриц - поэлементная операция
3. Произведение матрицы на число - поэлементная операция
4. Умножение A*B матриц по правилу строка на столбец (число столбцов матрицы А должно быть равно числу строк матрицы B)
A mk *B kn =C mn причем каждый элемент с ij матрицы C mn равен сумме произведений элементов i-ой строки матрицы А на соответствующие элемеенты j-го столбца матрицы B , т.е.
Покажем операцию умножения матриц на примере
5. Транспонирование матрицы А. Транспонированную матрицу обозначают A T или A"
,например
Строки и столбцы поменялись местами
Свойства операций над матрицами:
(A+B)+C=A+(B+C)
λ(A+B)=λA+λB
A(B+C)=AB+AC
(A+B)C=AC+BC
λ(AB)=(λA)B=A(λB)
A(BC)=(AB)C
(λA)"=λ(A)"
(A+B)"=A"+B"
(AB)"=B"A"
2. Определители второго и третьего порядка (основные понятия, св-ва, вычисления)
Свойство 1. Определитель не изменяется при транспонировании, т.е.
Доказательство.
Замечание. Следующие свойства определителей будут формулироваться только для строк. При этом из свойства 1 следует, что теми же свойствами будут обладать и столбцы.
Свойство 2 . При умножении элементов строки определителя на некоторое число весь определитель умножается на это число, т.е.
.
Доказательство.
Свойство 3. Определитель, имеющий нулевую строку, равен 0.
Доказательство этого свойства следует из свойства 2 при k = 0.
Свойство 4. Определитель, имеющий две равные строки, равен 0.
Доказательство.
Свойство 5 . Определитель, две строки которого пропорциональны, равен 0.
Доказательство следует из свойств 2 и 4.
Свойство 6 . При перестановке двух строк определителя он умножается на –1.
Доказательство.
Свойство 7.
Доказательство этого свойства можно провести самостоятельно, сравнив значения левой и правой частей равенства, найденные с помощью определения 1.5.
Свойство 8. Величина определителя не изменится, если к элементам одной строки прибавить соответствующие элементы другой строки, умноженные на одно и то же число.
Минор. Алгебраическое дополнение. Теорема Лапласа.
Метод приведения к треугольному виду заключается в таком преобразовании данного определителя, когда все элементы его, лежащие по одну сторону одной из его диагоналей, становятся равными нулю.
Пример 8. Вычислить определитель
приведением к треугольному виду.
Решение. Вычтем первую строку определителя из остальных его строк. Тогда получим
.
Этот определитель равен произведению элементов главной диагонали. Таким образом, имеем
Замечание. Всё рассмотренное выше можно обобщить для определителей n-го порядка.
Приведение матрицы к ступенчатому виду. Элементарные преобразования строк и столбцов.
Элементарными преобразованиями матрицы называются следующие ее преобразования:
I. Перестановка двух столбцов (строк) матрицы.
II. Умножение всех элементов одного столбца (строки) матрицы на одно и то же число, отличное от нуля.
III. Прибавление к элементам одного столбца (строки) соответствующих элементов другого столбца (строки), умноженных на одно и то же число.
Матрица , полученная из исходной матрицы конечным числом элементарных преобразований, называется эквивалентной . Это обозначается .
Элементарные преобразования применяются для упрощения матриц, что будет в дальнейшем использоваться для решения разных задач.
Чтобы привести матрицу к ступенчатому виду (рис. 1.4), нужно выполнить следующие действия.
1. В первом столбце выбрать элемент, отличный от нуля (ведущий элемент ). Строку с ведущим элементом (ведущая строка ), если она не первая, переставить на место первой строки (преобразование I типа). Если в первом столбце нет ведущего (все элементы равны нулю), то исключаем этот столбец, и продолжаем поиск ведущего элемента в оставшейся части матрицы. Преобразования заканчиваются, если исключены все столбцы или в оставшейся части матрицы все элементы нулевые.
2. Разделить все элементы ведущей строки на ведущий элемент (преобразование II типа). Если ведущая строка последняя, то на этом преобразования следует закончить.
3. К каждой строке, расположенной ниже ведущей, прибавить ведущую строку, умноженную соответственно на такое число, чтобы элементы, стоящие под ведущим оказались равными нулю (преобразование III типа).
4. Исключив из рассмотрения строку и столбец, на пересечении которых стоит ведущий элемент, перейти к пункту 1, в котором все описанные действия применяются к оставшейся части матрицы.
Пример 1.29. Привести к ступенчатому виду матрицы
Элементарные преобразования матрицы - это такие преобразования матрицы , в результате которых сохраняется эквивалентность матриц. Таким образом, элементарные преобразования не изменяют множество решений системы линейных алгебраических уравнений , которую представляет эта матрица.
Элементарные преобразования используются в методе Гаусса для приведения матрицы к треугольному или ступенчатому виду.
Определение
Элементарными преобразованиями строк называют:
В некоторых курсах линейной алгебры перестановка строк матрицы не выделяется в отдельное элементарное преобразование в силу того, что перестановку местами любых двух строк матрицы можно получить, используя умножение любой строки матрицы на константу k {\displaystyle k} , и прибавление к любой строке матрицы другой строки, умноженной на константу k {\displaystyle k} , k ≠ 0 {\displaystyle k\neq 0} .
Аналогично определяются элементарные преобразования столбцов .
Элементарные преобразования обратимы .
Обозначение указывает на то, что матрица A {\displaystyle A} может быть получена из B {\displaystyle B} путём элементарных преобразований (или наоборот).
Свойства
Инвариантность ранга при элементарных преобразованиях
Теорема (об инвариантности ранга при элементарных преобразованиях).
Если A ∼ B {\displaystyle A\sim B} , то r a n g A = r a n g B {\displaystyle \mathrm {rang} A=\mathrm {rang} B} . |
Эквивалентность СЛАУ при элементарных преобразованиях
Назовём элементарными преобразованиями над системой линейных алгебраических уравнений :- перестановку уравнений;
- умножение уравнения на ненулевую константу;
- сложение одного уравнения с другим, умноженным на некоторую константу.
Нахождение обратных матриц
Теорема (о нахождении обратной матрицы).
Пусть определитель матрицы A n × n {\displaystyle A_{n\times n}} не равен нулю, пусть матрица B {\displaystyle B} определяется выражением B = [ A | E ] n × 2 n {\displaystyle B=_{n\times 2n}} . Тогда при элементарном преобразовании строк матрицы A {\displaystyle A} к единичной матрице E {\displaystyle E} в составе B {\displaystyle B} одновременно происходит преобразование E {\displaystyle E} к A − 1 {\displaystyle A^{-1}} . |
Элементарные преобразования матриц
Элементарные преобразования матрицы находят широкое применение в различных математических задачах. Например, они составляют основу известного метода Гаусса (метода исключения неизвестных) для решения системы линейных уравнений .
К элементарным преобразованиям относятся:
1) перестановка двух строк (столбцов);
2) умножение всех элементов строки (столбца) матрицы на некоторое число, не равное нулю;
3) сложение двух строк (столбцов) матрицы, умноженных на одно и то же число, отличное от нуля.
Две матрицы называются эквивалентными , если одна из них может быть получена из другой после конечного числа элементарных преобразований. В общем случае эквивалентные матрицы равными не являются, но имеют один и тот же ранг.
Вычисление определителей с помощью элементарных преобразований
С помощью элементарных преобразований легко вычислить определитель матрицы. Например, требуется вычислить определитель матрицы:
где ≠ 0.
Тогда можно вынести множитель :
теперь, вычитая из элементов j - го столбцасоответствующие элементы первого столбца, умноженные на, получим определитель:
который равен: где
Затем повторяем те же действия для и, если все элементы то тогда окончательно получим:
Если для какого-нибудь промежуточного определителя окажется, что его левый верхний элемент , то необходимо переставить строки или столбцы втак, чтобы новый левый верхний элемент был не равен нулю. Если Δ ≠ 0, то это всегда можно сделать. При этом следует учитывать, что знак определителя меняется в зависимости от того, какой элемент является главным (то есть, когда матрица преобразована так, что). Тогда знак соответствующего определителя равен.
П р и м е р. С помощью элементарных преобразований привести матрицу
Элементарные преобразования матрицы находят широкое применение в различных математических задачах. Например, они составляют основу известного метода Гаусса (метода исключения неизвестных) для решения системы линейных уравнений .
К элементарным преобразованиям относятся:
1) перестановка двух строк (столбцов);
2) умножение всех элементов строки (столбца) матрицы на некоторое число, не равное нулю;
3) сложение двух строк (столбцов) матрицы, умноженных на одно и то же число, отличное от нуля.
Две матрицы называются эквивалентными , если одна из них может быть получена из другой после конечного числа элементарных преобразований. В общем случае эквивалентные матрицы равными не являются, но имеют один и тот же ранг.
Вычисление определителей с помощью элементарных преобразований
С помощью элементарных преобразований легко вычислить определитель матрицы. Например, требуется вычислить определитель матрицы:
Тогда можно вынести множитель :
теперь, вычитая из элементов j -го столбца соответствующие элементы первого столбца, умноженные на , получим определитель:
который равен: где
Затем повторяем те же действия для и, если все элементы то тогда окончательно получим:
Если для какого-нибудь промежуточного определителя окажется, что его левый верхний элемент , то необходимо переставить строки или столбцы в так, чтобы новый левый верхний элемент был не равен нулю. Если Δ ≠ 0, то это всегда можно сделать. При этом следует учитывать, что знак определителя меняется в зависимости от того, какой элемент является главным (то есть, когда матрица преобразована так, что ). Тогда знак соответствующего определителя равен .
П р и м е р. С помощью элементарных преобразований привести матрицу
к треугольному виду.
Р е ш е н и е. Сначала умножим первую строку матрицы на 4, а вторую на (–1) и прибавим первую строку ко второй:
Теперь умножим первую строку на 6, а третью на (–1) и прибавим первую строку к третьей:
Наконец, умножим 2-ю строку на 2, а 3-ю на (–9) и прибавим вторую строку к третьей:
В результате получена верхняя треугольная матрица
Пример. Решить систему линейных уравнений, используя матричный аппарат:
Р е ш е н и е. Запишем данную систему линейных уравнений в матричной форме:
Решение данной системы линейных уравнений в матричной форме имеет вид:
где – матрица, обратная к матрице А .
Определитель матрицы коэффициентов А равен:
следовательно, матрица А имеет обратную матрицу .
2. Мальцев А.И. Основы линейной алгебры. – М.: Наука, 1975. – 400 с.
3. Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов. – М.: Наука, 1986. – 544 с.
- не удается установить сетевое подключение Ошибка не удается установить соединение сервером
- Как выгрузить контрагентов из 1с 8
- Чтение файла, запись в файл
- Как открыть банковскую карту: инструкция и рекомендации
- Ностальгия по HTC HD2 Описание htc hd2 wm 6
- HTC Desire V: характеристики и отзывы
- Конвертирование файла TIB do VMDK Преобразование файла disk image backup в vhd